丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)数学文科+参考答案

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xyO21-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（文科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=(A)-1(B)0(C)2(D)2或-12．下列四个命题中，假命题为(A)xR，20x(B)xR，2310xx(C)xR，lg0x(D)xR，122x3．已知a>0且a≠1，函数logayx，xya在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列{}na中，135a，111(2)nnana，则2011a(A)12(B)23(C)35(D)52关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求2011a，只能是周期性。5．如图所示，已知2ABBC，OAa，OBb，OCc，则下列第中成立的是(A)3122cba(B)2cba(C)2cab(D)3122cab这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。讲评时可再选一填空题进行复练。6．已知函数sin()yAx的图象如图所示，则该函数的解析式可能是ABCO(A)441sin()555yx(B)31sin(2)25yx(C)441sin()555yx(D)41sin(2)55yx本题就是考查正弦函数的图象变换。最好采用排除法。考查的关键是A，ω，φ每一个字母的意义。7．已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为0.95yxa，则a(A)3.25(B)2.6(C)2.2(D)0本题就是考查回归方程过定点(,)xy。8．用max{}ab，表示a，b两个数中的最大数，设22()max{84,log}fxxxx，若函数()()gxfxkx有2个零点，则k的取值范围是(A)(0,3)(B)(0,3](C)(0,4)(D)[0,4]考查意图：考查学生对函数概念的理解。考察了学生数形结合的能力。试题分析：讲评时首先要从正面求解得到结论：有2个零点，即函数y=f(x)与直线y=kx有两个交点。然后从反面：排除法。本题一定是数形结合。首先k=0不成立，排除D，其次，二次函数的顶点是（4,12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A，B，得到结果。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数121izi对应的点位于第象限．10．圆C：222220xyxy的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．若[0,2]x，则函数sincosyxxx的单调递增区间是．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．本题的关键是写对不第组，考察学生写出不等关系，其次才是线性规划问题。13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为___．本题的关键是读懂题，读懂了就非常简单。三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数21()sin3sincos2fxxxx．（Ⅰ）求()12f的值；（Ⅱ）若[0,]2x，求函数()yfx的最小值及取得最小值时的x值．三角函数部分虽然已经考过几次，但二次函数型仍然没有考过，请老师们在复练时一定要练习到。ABCADP1P2P3P4P511正视图侧视图20.62.4俯视图0.616.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，//BCAD，112BCAD，3CD，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且2CG，沿CG将△CDG翻折到△CDG．（Ⅰ）求证：EF//平面ADB；（Ⅱ）求证：平面CDG⊥平面ADG．本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：50,40，60,50，…，100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．FGEABCDABCEDFG18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2afxxax．（Ⅰ）当1x时函数()yfx取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数()yfx的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为22，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值．（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）20.（本小题共13分）已知数列{}na的前n项和为nS，且2nSn．数列{}nb为等比数列，且11b，48b．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nc满足nnbca，求数列{}nc的前n项和nT；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}nc中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（文科）参考答案2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ABDCAABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ10．311．(0,)写成闭区间也给满分12．1513．1214．8，(1)4nn注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数21()sin3sincos2fxxxx．（Ⅰ）求()12f的值；（Ⅱ）求函数(),[0,]2yfxx的最小值，及取得最小值时的x的值．解：（Ⅰ）∵21()sin3sincos2fxxxx31sin2cos222xxsin(2)6x，………………5分∴3()sin(2)sin()1212632f．………………7分（Ⅱ）∵02x∴02x．∴52666x．………………9分∴1sin(2)126x，即1()12fx．………………11分∴min1()2fx此时266x∴0x．………………12分∴当0x时，min1()2fx．………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，//BCAD，112BCAD，3CD，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且2CG，沿直线CG将△CDG翻折成△CDG．（Ⅰ）求证：EF//平面ADB；（Ⅱ）求证：平面CDG⊥平面ADG．证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD的中点，∴EF为△DBC的中位线．∴EF//DB．………………2分又∵EF平面ADB，DB平面ADB，………………4分∴EF//平面ADB．………………6分（Ⅱ）∵G是AD的中点，112BCAD，即2AD，∴1DG．又∵3CD，2CG，∴在DGC中，222DGGCDC∴DGGC．………………9分∴GCDG，GCAG．∵AG∩DG=G，∴GC平面ADG．………………12分又∵GC平面CDG，∴平面CDG⊥平面ADG．………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段50,40，60,50，…，100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中FGEABCDABCEDFG抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．解：（Ⅰ）分数在70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)1010.70.3．………………3分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x．………………6分（Ⅲ）由题意，80,90分数段的人数为：0.256015人；………………7分90,100分数段的人数为：0.05603人；………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴80,90分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；90,100分数段抽取1人，记为M．………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在80,90分数段，所以只需在分数段80,90抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A，………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．事件A包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153PA．………………13分18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2afxxax．（Ⅰ）当1x时函数()yfx取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数()yfx的单调区间．解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为(,0)∪(0,)，………………1分2()afxxx．………………3分∵1x时函数()yfx取得极小值，∴(1)0f．………………4分∴1a．………………5分当1a时，在(0,1)内()0fx，在(1,)内()0fx，………………6分∴1x是函数()yfx的极小值点．∴1a有意义．………………7分（Ⅱ）()fx的定义域为(,0)∪(0,)，322()axafxxxx．令()0fx，得3xa．………………9分（ⅰ）当0a时，x3(,)a3a3(,0)a(0,)\'()fx0()fx极小值………………11分（ⅱ）当0a时，x(,0)3(0,)a3a3(,)a\'()fx0()fx极小值综上所述：………………13分当0a时，函数()yfx的单调递减区间为3(,)a，单调递增区间为3(,0)a，(0,)；当0a时，函数()yfx的单调递减区间为(,0)，3(0,)a，单调递增区间为3(,)a．………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为22，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值．（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且1c，222a，………………1分∴2a，2221bac．………………2分∴椭圆C的标准方程为2212xy．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）2222xyyx………………5分∴6363xy或6363xy，………………7分即66(,)33A，66(,)33B，(2,0)P．所以126232233ABPS．………………9分（ⅱ）证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy．椭圆的右顶点为(2,0)P2222xyykx，消y整理得22(21)2kx，不妨设x1>0>x2，∴12221xk，22221xk；12221ykk，22221ykk．……………12分1212121212222)2APBPyyyykkxxxxxx（………………13分2222212221kkk22212422kk∴APBPkk为定值12．………………14分20.（本小题共13分）已知数列{}na的前n项和为nS，且2nSn．数列{}nb为等比数列，且首项11b，48b．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nc满足nnbca，求数列{}nc的前n项和为nT；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}nc中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵数列{}na的前n项和为nS，且2nSn，∴当2n时，221(1)21nnnaSSnnn．当1n时，111aS亦满足上式，故21nan，(*)nN．………………3分又数列{}nb为等比数列，设公比为q，∵11b，3418bbq，∴2q．∴12nnb(*)nN．………………6分（Ⅱ）2121nnnbncab．123nnTcccc12(21)(21)(21)n12(222)nn2(12)12nn．所以122nnTn．………………9分（Ⅲ）假设数列{}nc中存在三项,,mklccc成等差数列，不妨设(,,*)mklmklN因为21nnc，所以mklccc，且三者成等差数列．所以2klmccc，即2(21)(21)(21)kml，2222kml，即222mklk．（方法一）因为(,,*)mklmklN，所以1lk，0mk．所以22lk，20mk，所以222mklk与222mklk矛盾．所以数列{}nc中不存在成等差数列的三项．………………13分（方法二）2222kml2(12)mlm所以12122klmm，即1212kmlm．所以1221kmlm．因为(,,*)mklmklN，所以12km，2lm均为偶数，而1为奇数，所以第不成立．所以数列{}nc中不存在三项，使得这三项成等差数列．………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）